یک پارادوکس منطقی و پاسخ آن

در این جستار کوتاه قصد دارم به یک معضل منطقی بپردازم که توسط رضا خامکی، از اعضای گروه فلسفه نو مطرح شد. در ابتدا توضیح دقیق تری از این معضل عرضه کرده و سپس تلاش می کنم نقص منطقی آن را به کمک نظریه ی مجموعه ها روشن کنم.
بگذارید ابتدا مثالی در این موضوع مطرح کنم:
در ابتدا یک نظام معنایی مشخص را ( که در این مورد یک نظام اخلاقی است ) فرض می کنیم که از سه قانون اساسی پایه تشکیل شده است. قوانین به شرح زیرند:
1) آن دسته از انسان هایی که به فقرا کمک می کنند، خوب هستند.
2) تمامی موجودات ظالم، بد هستند.
3) آن دسته از انسان هایی که باعث نابودی انسان های دیگر شوند، ظالم اند.
حال که نظام معنایی اخلاقی فوق را تعریف کردیم، می توانیم به مبنای قوانین آن، گزاره های زیر را استخراج کنیم:
4) بعضی از انسان ها خوب هستند. ( بنا به (1) این گزاره صحیح است. )
5) آن دسته از انسان هایی که باعث نابودی انسان های دیگر می شوند، ظالم، و بنا به (2) بد هستند. بنابراین می توانیم نتیجه بگیریم که بعضی از انسان ها، ظالم و بد هستند.
حال با فرض اینکه این پنج گزاره از نظر ارزش، صادق هستند، می توانیم به استنتاج زیر بپردازیم:
الف) بعضی از انسان ها ظالم اند.( گزاره ی (5) و در نتیجه صادق است. )
ب) هیچیک از موجودات ظالم، بد نیستند.( نقیض گزاره ی (2) و در نتیجه کاذب است. )
ج) از «الف» و «ب» : بعضی از انسان ها، بد نیستند.
گزاره ی (ج) را با توجه به اینکه نقیض «بد»، «خوب» می باشد، و نظام معنایی ما دوارزشی است، می توان به شکل زیر، بازنویسی کرد:
« بعضی از انسان ها، خوب هستند. »
در نتیجه گزاره ی (ج) که همان نتیجه می باشد، همان گزاره ی (4) و بنا به فرض اولیه، صادق می باشد. در نهایت مشخص می شود که صغرای استنتاج، صادق، کبرای آن کاذب، و نتیجه صادق می باشد. بنابراین می بینیم که در این مورد با وجود مقدمات بعضا کاذب، نتیجه ی صادق بدست آمده است. حال آنکه بنا به اصول منطق صوری، مقدمات و نتیجه باید از لحاظ ارزش با یکدیگر یکسان باشند. از اینرو باید تناقضی در قوانین اولیه ی این نظام معنایی وجود داشته باشد. در صورتی که می بینیم محدوده ی معنایی هر یک از قوانین، مجزا و به عبارت دیگر مجموعه های شامل مدلول ها، با یکدیگر اشتراکی ندارند که امکان تناقض فراهم شود. مشکل از کجاست؟
برای بحث دقیق تر، بحث را به صورت کلی و با بکارگیری نمادها مطرح می کنیم. در این مورد باید توجه داشته باشیم که این استنتاج وابسته به معنای گزاره ها نبوده و در مورد هر نظام معنایی دیگر، با این ساختار صوری صدق می کند.
بنابراین به جای نشانه های «ظلم»، «انسان»، «خوب» و «بد» نمادهایی انتخاب کرده و قوانین بنیادی نظام را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:
1) بعضی xها، y هستند.
2) همه ی yها، z هستند.
3) بعضی xها، نقیض z هستند.
بنابراین به طور مشابه داریم:
الف) بعضی xها، y اند. (صادق)
ب) هیچ yای، z نیست. (کاذب)
ج) از (الف) و (ب): بعضی xها، z نیستند. (صادق)
نمادهای «y» و «z» تنها دلالت به مفاهیم و یا توابع شناسه ای می کنند، حال آنکه نماد «x» اشاره به مجموعه ای از اشیاء دارد که در داشتن خصوصیت خاصی مشترک اند. همچنین مفهومی که توسط نماد «z» نشانه گذاری شده است، ویژگی بخصوص دیگری نیز دارد، و آن این است که در هر نظام معنایی، به همراه نقیضش، یک جفت مفهومی دوارزشی را تشکیل می دهند، به این معنا که اگر شئی بتواند مطابق با آنها طبقه بندی شود، تنها امکان دارد که در یکی از این دو دسته ی «z» و مفهوم نقیضش جای گیرد. به عبارت دیگر، نقیض «z»، مانند آن یک و تنها یک مفهوم است، و نه مجموعه ای ازمفاهیم. مانند: «خوب و بد»
حال با توصیف این مقدمات، قصد دارم نشان دهم که نتیجه ی ارائه شده در استنتاج مذکور، برخلاف انتظار صادق نیست، بلکه با مجموع دو گزاره ی (1) و (2)، متناقض است.
نتیجه ی گزاره های (1) و (2) به این صورت است:
4) بعضی xها، z هستند.
همچنین گزاره ی سوم را داریم: 3) بعضی x ها، نقیض z هستند.
در اینجا به وضوح می بینیم که تعدادی از x ها مدلول دو مفهوم متناقض z و نقیض z هستند. آن دسته از x هایی که مدلول مفهوم z هستند، را در مجموعه ی A و آن دسته از x هایی که مدلول مفهوم «نقیض z» هستند، را در مجموعه ی B جای می دهیم. این دو مجموعه با هم هیچ اشتراکی ندارد. علت این امر آن است که اگر عضوی در هر دو مجموعه به طور همزمان جای گیرد، هم باید مدلول z باشد و هم نقیض آن، که به وضوح تناقض است.
همچنین اعضای هر کدام از مجموعه بر حسب اینکه مدلول مفاهیم بخصوصی چون z و نقیض آن هستند، در ویژگی خاصی با هم مشترک اند. مثلا در مثال مذکور، مجموعه ی A از اعضایی تشکیل شده است که همگی مدلول مفهوم «انسان های کمک کننده به فقرا» و به همین ترتیب مجموعه ی B از اعضایی که مدلول مفهوم «انسان های نابودکننده ی انسان های دیگر» هستند، تشکیل شده اند.
حال قادریم با این اطلاعات، قوانین و استنتاج نظام معنایی را بازتعریف کنیم:
1) اعضای مجموعه ی y، A هستند.
2) همه ی y ها، z هستند.
3) اعضای مجموعه ی B، نقیض z هستند.
به شکل مشابه می توانیم استنتاج را به این شکل مطرح کنیم:
الف) اعضای مجموعه ی y ، A هستند.
ب) هیچ y ای، z نیست.
ج) از (الف) و (ب): اعضای مجموعه ی z ، A نیستند.
حال با توجه به اینکه اعضای مجموعه ی A، طبق تعریف، همگی مدلول مفهوم z هستند، نتیجه ی گرفته شده، متناقض است. همچنین نتیجه، برخلاف آنچه به نظر می رسید، چیزی راجع به مجموعه ی B نمی گوید.
بنابراین می بینیم که اساسا پارادوکسی وجود ندارد. کبری قیاس، نامعتبر و در نتیجه، نتیجه هم نامعتبر است. به همین روی ادعای اولیه ی این مساله مبنی بر اینکه می توان استنتاجی را فرض کرد که مقدمات آن بعضا کاذب، اما نتیجه ی آن صادق باشد، به نظر می رسد که نادرست می باشد.